% WiGr 2: editable conversion of WiGr_2_Produktion.pptx (48 source slides).
% Source slide numbers are recorded immediately before each frame.
% Style: ../wg-s26/wg-1-angebot_nachfrage_elastizitaet.tex and title.tex.
% Economic diagrams and derivations informed by
% ../ee-26/ee-3-microeconomic_basics.tex, sections Production, Monopoly, Cournot.
% Build from this directory: pdflatex wg-2-produktion.tex (twice).
% Diagrams are native TikZ/PGFPlots. Only the book cover and TU logo are images.
\newcommand{\thistitle}{Folien 2: Kostenorientierte Produktionsplanung}
\input{title.tex}

\definecolor{demandblue}{RGB}{32,93,155}
\definecolor{costblue}{RGB}{32,93,155}
\definecolor{costgreen}{RGB}{0,123,93}
\definecolor{costpurple}{RGB}{137,62,143}
\pgfplotsset{costaxis/.style={
  width=10.6cm,height=5.15cm,axis lines=left,
  xlabel={Menge $Q$},ylabel={Euro je Stück},
  xmin=0,xmax=7,ymin=0,ymax=13,xtick={0,1,...,7},ytick={0,5,10},
  samples=100,domain=0.18:6.7,clip=true,clip mode=individual,
  label style={font=\small},tick label style={font=\small},
  legend style={font=\scriptsize,draw=none,at={(1.02,1)},anchor=north west},
  legend cell align=left},
  mc/.style={costgreen,very thick},avc/.style={costpurple,thick,dashed},
  ac/.style={costblue,thick,dashdotted}}
% A coherent schematic model reproduces the shapes of PPT slides 14--30:
% K(Q)=Q^3/3-3Q^2+10Q+15; NOT the separate exercise 4.2 on slides 33--35.
\pgfmathdeclarefunction{kv}{1}{\pgfmathparse{#1^3/3-3*#1^2+10*#1}}
\pgfmathdeclarefunction{kt}{1}{\pgfmathparse{kv(#1)+15}}
\pgfmathdeclarefunction{gk}{1}{\pgfmathparse{#1^2-6*#1+10}}
\pgfmathdeclarefunction{vdk}{1}{\pgfmathparse{#1^2/3-3*#1+10}}
\pgfmathdeclarefunction{dk}{1}{\pgfmathparse{vdk(#1)+15/#1}}
\def\qprod{4.5}
\def\pprod{3.25}
\def\qbreak{5.30076547}
\pgfmathsetmacro{\pbreak}{dk(\qbreak)}
\pgfmathsetmacro{\qopt}{3+sqrt(7)}
\pgfmathsetmacro{\vopt}{vdk(\qopt)}
\pgfmathsetmacro{\aopt}{dk(\qopt)}

% Levels: 0 MC; 1 AVC; 2 MC+AVC; 3 AC+AVC; 4 all;
% 5 MC+market price; 6 all with revenue decomposition; 7 supply curve.
\newcommand{\costdiagram}[1]{%
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[costaxis]
\ifnum#1=6
 \fill[costpurple!15] (axis cs:0,0) rectangle (axis cs:\qopt,\vopt);
 \fill[costblue!15] (axis cs:0,\vopt) rectangle (axis cs:\qopt,\aopt);
 \fill[yellow!40] (axis cs:0,\aopt) rectangle (axis cs:\qopt,8);
 \node[font=\small] at (axis cs:1.6,1.2) {Variable Kosten};
 \node[font=\small] at (axis cs:1.4,5.0) {Fixkosten};
 \node[font=\small] at (axis cs:2,7.1) {Gewinn};
\fi
\ifnum#1=7
 \addplot[mc,domain=4.5:6.4] {gk(x)};\addlegendentry{Angebot}
 \draw[dotted] (axis cs:0,3.25)--(axis cs:4.5,3.25);
 \fill[TUred] (axis cs:4.5,3.25) circle (2pt);
 \node[anchor=north west,font=\small] at (axis cs:4.5,3.1) {$p_{\mathrm{prod}}$};
\else
 \ifnum#1=1\else\ifnum#1=3\else
  \addplot[mc,domain=0:6.7] {gk(x)};\addlegendentry{$K'(Q)$}
 \fi\fi
 \ifnum#1>0\ifnum#1=5\else
  \addplot[avc] {vdk(x)};\addlegendentry{$K_{\mathrm{var}}/Q$}
  \fill[TUred] (axis cs:4.5,3.25) circle (2pt);
  \node[anchor=north,font=\small] at (axis cs:4.5,3.0) {C};
 \fi\fi
 \ifnum#1>2\ifnum#1=5\else
  \addplot[ac] {dk(x)};\addlegendentry{$K/Q$}
  \fill[TUred] (axis cs:\qbreak,\pbreak) circle (2pt);
  \node[anchor=north west,font=\small] at (axis cs:\qbreak,\pbreak) {B};
 \fi\fi
 \ifnum#1>4
  \addplot[TUred,thick,domain=0:6.7] {8};\addlegendentry{Marktpreis $p$}
  \draw[dotted] (axis cs:\qopt,0)--(axis cs:\qopt,8);
  \fill[TUred] (axis cs:\qopt,8) circle (2pt);
  \node[anchor=south east,font=\small] at (axis cs:\qopt,8) {A};
  \node[anchor=north,font=\small] at (axis cs:\qopt,0) {$Q^*$};
 \fi
\fi
\end{axis}
\end{tikzpicture}}

% 0: total/fixed/variable costs; 1: production threshold; 2: break-even.
\newcommand{\totaldiagram}[1]{%
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[costaxis,ylabel={Kosten / Erlös [Euro]},ymax=48,xmax=6.7,
 ytick={0,10,20,30,40},domain=0:6.4]
 \addplot[costblue,very thick] {kt(x)};\addlegendentry{$K(Q)$}
 \addplot[costpurple,thick] {kv(x)};\addlegendentry{$K_{\mathrm{var}}(Q)$}
 \addplot[gray,thick,dashed] {15};\addlegendentry{$K_{\mathrm{fix}}$}
 \ifnum#1=1
  \addplot[TUred,thick,dashdotted] {3.25*x};\addlegendentry{$E=p_{\mathrm{prod}}Q$}
  \fill[TUred] (axis cs:4.5,14.625) circle (2pt);
  \node[anchor=south east,font=\small] at (axis cs:4.5,14.625) {Produktionsschwelle};
 \fi
 \ifnum#1=2
  \addplot[TUred,thick,dashdotted] {\pbreak*x};\addlegendentry{$E=p_{\mathrm{Gewinn}}Q$}
  \fill[TUred] (axis cs:\qbreak,{kt(\qbreak)}) circle (2pt);
  \node[anchor=south east,font=\small] at (axis cs:\qbreak,{kt(\qbreak)}) {Gewinnschwelle};
 \fi
\end{axis}
\end{tikzpicture}}


% Linear demand as in the preceding example, with curved marginal costs as in
% the PowerPoint. Numerical parameters only fix the schematic geometry.
\pgfmathdeclarefunction{wgmc}{1}{\pgfmathparse{.6+.18*(#1)^2}}
\pgfmathsetmacro{\qm}{(-2+sqrt(4+4*.18*5.4))/(2*.18)}
\pgfmathsetmacro{\wgMonopolyPrice}{6-\qm}
\pgfmathsetmacro{\gm}{wgmc(\qm)}
\pgfmathsetmacro{\qw}{(-1+sqrt(1+4*.18*5.4))/(2*.18)}
\pgfmathsetmacro{\pw}{6-\qw}
\newcommand{\monopolydiagram}[1]{%
\begin{tikzpicture}[x=.73cm,y=.66cm,font=\small]
\ifnum#1=1
 \fill[yellow!45] (0,6)--(\qw,\pw)--(0,\pw)--cycle;
 \fill[costgreen!30] (0,\pw)--(0,.6) -- plot[domain=0:\qw,samples=60] (\x,{wgmc(\x)})--cycle;
\fi
\ifnum#1=2
 \fill[yellow!45] (0,6)--(\qm,\wgMonopolyPrice)--(0,\wgMonopolyPrice)--cycle;
 \fill[costgreen!30] (0,\wgMonopolyPrice)--(0,.6) -- plot[domain=0:\qm,samples=60] (\x,{wgmc(\x)})--(\qm,\wgMonopolyPrice)--cycle;
 \fill[TUred!15] (\qm,\wgMonopolyPrice)--(\qw,\pw) -- plot[domain=\qw:\qm,samples=60] (\x,{wgmc(\x)})--cycle;
\fi
\draw[->,thick] (0,0)--(6.4,0) node[right] {$Q$};
\draw[->,thick] (0,0)--(0,6.5) node[above] {$p$};
\draw[costblue,very thick] (0,6)--(6,0);
\draw[costblue,dashed,thick] (0,6)--(3,0);
\draw[TUred,thick,domain=0:5.5,samples=80] plot (\x,{wgmc(\x)});
\draw[dotted] (0,\wgMonopolyPrice)--(\qm,\wgMonopolyPrice)--(\qm,0);
\draw[dotted] (0,\pw)--(\qw,\pw)--(\qw,0);
\node[left] at (0,6) {$a$};
\node[left] at (0,\wgMonopolyPrice) {$p_M$};\node[left] at (0,\pw) {$p_W$};
\node[below] at (\qm,0) {$Q_M$};\node[below] at (\qw,0) {$Q_W$};
\node[below] at (6,0) {$Q_S$};
\ifnum#1=0
 \node[right] at (4.5,{wgmc(4.5)}) {$K'(Q)$};
 \node[right] at (4.8,1.2) {Nachfrage};
 \node[anchor=north east] at (2.6,.8) {$E'(Q)$};
 \fill (\qw,\pw) circle (1.6pt);\node[above right] at (\qw,\pw) {A};
 \fill (\qm,\wgMonopolyPrice) circle (1.6pt);\node[above right] at (\qm,\wgMonopolyPrice) {B};
 \fill (\qm,\gm) circle (1.6pt);\node[below right] at (\qm,\gm) {G};
\fi
\end{tikzpicture}}

\section{Kosten und Produktionsentscheidungen}
% PPT 2
\begin{frame}{Typische Fragen der Produktionsplanung}
\begin{itemize}
 \item Die Kosten hängen von der produzierten Menge ab. Welche Menge maximiert den \alert{Gewinn} einer Firma?
 \item Der Umsatz muss langfristig sowohl \alert{variable Kosten} (Material, Energie) als auch \alert{Fixkosten} (Gebäude, Mieten, Zinsen) decken. Wie unterscheiden sich diese Kostenklassen?
 \item Wie unterscheiden sich Produktionsentscheidungen im \alert{Polypol}, im \alert{Monopol} und im \alert{Oligopol}?
\end{itemize}
\end{frame}

% PPT 3
\begin{frame}{Variable Kosten und Fixkosten}
\begin{itemize}
 \item \alert{Fixkosten} sind unabhängig von der Produktionsmenge $Q$. Sie fallen kurzfristig auch bei $Q=0$ an. Die Fixkosten können nicht verursachergerecht auf die Stückkosten umgelegt werden.
 \item Beispiele: Gebäudemieten, Zinsen, Löhne fest angestellter Beschäftigter sowie Wartung und Instandhaltung von Maschinen.
 \item \alert{Variable Kosten} hängen von der Produktionsmenge $Q$ ab. Variable Kosten steigen mit der Menge und verschwinden bei $Q=0$. Die variablen Kosten lassen sich verursachergerecht auf die Produkteinheiten verteilen.
 \item Beispiele: Material, Energie, Rohstoffe und mengenabhängig zugekaufte Leistungen.
\end{itemize}
\end{frame}

% PPT 4
\begin{frame}{Variable Kosten und Fixkosten: Beispiele}
\small
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}p{2.1cm}p{3.7cm}X@{}}
\toprule
Produkt & Variable Kosten & Fixkosten \\
\midrule
Buch & Papier, Klebstoff & Aufwand der Autor*innen, Verlagsmieten \\
E-Book & Fast keine & Aufwand der Autor*innen, Verlagsmieten \\
Kohlestrom & Brennstoff, CO$_2$-Zertifikate & Finanzierung des Kraftwerks, Löhne, Mieten, Wartung \\
Windstrom & Fast keine & Finanzierung der Anlage, Landpacht, Wartung \\
Dose & Material, Energie & Finanzierung der Fabrik, Löhne, Mieten, Wartung \\
Impfstoff & Material, Verpackung & Forschung und Entwicklung, Finanzierung der Fabrik \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{frame}

% PPT 5; original embedded book cover retained.
\begin{frame}{Eine Gesellschaft ohne variable Kosten?}
\begin{columns}[c]
\begin{column}{0.66\textwidth}
Viele neue Produkte haben geringe variable Kosten:
\begin{itemize}
 \item Internet-Dienstleistungen: E-Books, YouTube, Netflix, Wikipedia
 \item Strom aus Wind und Solar
 \item Elektroautos mit erneuerbarem Strom
 \item Massive Open Online Courses (MOOCs)
 \item Automatisierung und künstliche Intelligenz
\end{itemize}

Geringe variable Kosten bedeuten nicht, dass die Bereitstellung insgesamt kostenlos ist.

Wer die Produktion besitzt, kann mit Netzwerk-Effekten viele Kund*innen erreichen und hohe Gewinne erzielen.
\end{column}
\begin{column}{0.29\textwidth}
\centering\includegraphics[height=4.6cm]{rifkin-null-grenzkosten.jpeg}


\end{column}
\end{columns}

\source{Jeremy Rifkin, 2014}
\end{frame}

% PPT 6
\begin{frame}{Kurz- und langfristige Entscheidungen}
\begin{itemize}
 \item \alert{Kurze Frist:} Alle Produktionskapazitäten
stehen fest. Entscheidungen über Investitionen in Gebäude, Maschinen, Personalbestand, usw., wurden schon
getätigt und können nicht geändert werden.  Nur die produzierte Menge kann angepasst werden.
 \item \alert{Lange Frist:} Neue Investitionen, Erweiterungen oder Stilllegungen verändern auch die Produktionskapazitäten.
\end{itemize}

Heute: \alert{kurzfristige Produktionsentscheidungen}.

Die Vorlesung \emph{Investitionen} behandelt langfristige Entscheidungen.

\alert{Entscheidend:} Kurzfristig unvermeidbare Fixkosten ändern sich nicht mit der produzierten Menge.
\end{frame}

% BEGIN SLOVALCO CASE 1
\begin{frame}{Fallbeispiel Slovalco: Wenn Strom zu teuer wird}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.55\textwidth}
\textbf{August 2022, Slowakei:} Slovalco kündigt den Stopp der Primäraluminiumproduktion an.
\begin{itemize}
 \item Kapazität: 175\,000 Tonnen pro Jahr.
 \item Hohe Strompreise und ungünstige Rahmenbedingungen; der Stromvertrag läuft Ende 2022 aus.
 \item Hydro erwartet hohe Verluste bei einer Fortsetzung über 2022 hinaus.
\end{itemize}
\alert{Sollte ein Unternehmen bei Verlusten immer sofort die Produktion einstellen?}
\end{column}
\begin{column}{0.41\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{ziar-aluminiumstandort-szeder.jpg}

\raggedleft
\scriptsize Aluminiumstandort Žiar nad Hronom: ZSNP-Gelände, Aufnahme von 2006.
\end{column}
\end{columns}

\source{\hrefc{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Žiar_nad_Hronom2.JPG}{Szeder László}, 2006}
\end{frame}
% END SLOVALCO CASE 1

\section{Deckungsbeitragsrechnung}
% PPT 7
\begin{frame}{Vollkostenrechnung}
Ein Unternehmen stellt drei Produkte her. Sollte es die Produktion anpassen?
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{lrrr}
\toprule & A & B & C \\
\midrule
Umsatz & 800 & 500 & 700 \\
\midrule
Variable Kosten & 350 & 150 & 400 \\
Fixkosten & 150 & 150 & 500 \\
Gesamtkosten & 500 & 300 & 900 \\
\midrule
Betriebsergebnis & 300 & 200 & \alert{$-200$} \\
\midrule
Gesamtergebnis & \multicolumn{3}{c}{\alert{300}} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

% PPT 8
\begin{frame}{Vollkostenrechnung ohne Produkt C}
Die Fixkosten bleiben kurzfristig bestehen, auch wenn C eingestellt wird.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{lrrr}
\toprule & A & B & C \\
\midrule
Umsatz & 800 & 500 & 0 \\
\midrule
Variable Kosten & 350 & 150 & 0 \\
Fixkosten & 150 & 150 & 500 \\
Gesamtkosten & 500 & 300 & 500 \\
\midrule
Betriebsergebnis & 300 & 200 & \alert{$-500$} \\
\midrule
Gesamtergebnis & \multicolumn{3}{c}{\alert{0}} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

% PPT 9
\begin{frame}{Teilkostenrechnung}
Der \alert{Deckungsbeitrag} zeigt, wie viel jedes Produkt zur Deckung der Fixkosten beiträgt.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{lrrr}
\toprule & A & B & C \\
\midrule
Umsatz & 800 & 500 & 700 \\
\midrule
Variable Kosten & 350 & 150 & 400 \\
Deckungsbeitrag & 450 & 350 & \alert{300} \\
\midrule
Gesamtdeckungsbeitrag & \multicolumn{3}{c}{1100} \\
Fixkosten & \multicolumn{3}{c}{800} \\
\midrule
Gesamtergebnis & \multicolumn{3}{c}{\alert{300}} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

% PPT 10
\begin{frame}{Prinzip der Deckungsbeitragsrechnung}
\begin{columns}[T]
\begin{column}{0.47\textwidth}
\alert{Vollkostenrechnung}

Für die Preiskalkulation werden alle periodengerechten Kosten erfasst und den Kostenträgern zugewiesen.
\[
\begin{aligned}
&\text{Umsatzerlöse}\\[-2pt]
-\;&\text{variable Kosten}\\[-2pt]
-\;&\text{fixe Kosten}\\ \hline
=\;&\text{Periodengewinn}
\end{aligned}
\]
\end{column}
\begin{column}{0.47\textwidth}
\alert{Teilkostenrechnung}

Für kurzfristige Entscheidungen werden variable Kosten mit den am Markt erzielbaren Erlösen verglichen.
\[
\begin{aligned}
&\text{Umsatzerlöse}\\[-2pt]
-\;&\text{variable Kosten}\\ \hline
=\;&\text{Deckungsbeitrag I}
\end{aligned}
\]
\end{column}
\end{columns}

\vspace{.5cm}

Der Deckungsbeitrag I dient zur \alert{Deckung der Fixkosten und des Gewinns}.
\end{frame}

% PPT 11
\begin{frame}{Beispiel für die Deckungsbeitragsrechnung}
\small
\setlength{\parskip}{2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xrrr@{}}
\toprule & Produkt 1 & Produkt 2 & Summe \\
\midrule
Umsatz & 50\,000 & 42\,000 & 92\,000 \\
Abzüglich variable Kosten & $-34\,000$ & $-20\,000$ & $-54\,000$ \\
\midrule
\textcolor{TUred}{\textbf{Deckungsbeitrag I}} & 16\,000 & 22\,000 & 38\,000 \\
Abzüglich produktspezifische Fixkosten & $-20\,000$ & $-12\,000$ & $-32\,000$ \\
\midrule
\textcolor{TUred}{\textbf{Deckungsbeitrag II}} & $-4\,000$ & 10\,000 & 6\,000 \\
\bottomrule
\end{tabularx}

Wenn die Firma mehrere Produkte hat, bildet man den \alert{Deckungsbeitrag II}:

\[
\text{DB II}=\text{DB I}-\text{produktspezifische Fixkosten}
\]

Produkt-spezifische Fixkosten oder \alert{Produktionsfixkosten} sind Fixkosten, die
durch das Produkt verursacht werden, z.B. direkt zurechenbare Werbung, Entwicklung und andere Produktionsfixkosten.

DB II trägt zur Deckung der \alert{übrigen Unternehmensfixkosten} bei, die sich nicht bestimmten Produkten
zuordnen lassen, etwa Imagewerbung, Büromieten und Personalverwaltung.
\end{frame}

% PPT 12
\begin{frame}{Ziele der Deckungsbeitragsrechnung}
\begin{itemize}
 \item Kurzfristige Entscheidungen für Produktion, Beschaffung und Vertrieb
 \item Bestimmung von Preisuntergrenzen
 \item Vergleichbarkeit von Produktgruppen
 \item Programmoptimierung: gewinnmaximaler Produktionsplan
 \item Kostentransparenz in hierarchischen Mehrebenensystemen
\end{itemize}
\end{frame}

% PPT 13
\begin{frame}{Deckungsbeitrag: Zusammenfassung}

Generell ist der \alert{Deckungsbeitrag} die Differenz zwischen dem Erlös und den variablen Kosten, die zur Deckung der Fixkosten dient:
\[
\begin{aligned}
\text{Deckungsbeitrag}&=\text{Erlös}-\text{Kosten}_{\mathrm{var}},\\
\text{Gewinn}&=\text{Deckungsbeitrag}-\text{Kosten}_{\mathrm{fix}}.
\end{aligned}
\]
Für ein Mehrproduktunternehmen kann man mehrstufige \alert{Deckungsbeiträge} definieren:
\[
\begin{aligned}
\text{DB I}_i&=\text{Erlös}_i-\text{Kosten}_{\mathrm{var},i},\\
\text{DB II}_i&=\text{DB I}_i-\text{Produktionsfixkosten}_i,\\
\text{Gewinn}&=\sum_i\text{DB II}_i-\text{Unternehmensfixkosten}.
\end{aligned}
\]
\alert{Unternehmensfixkosten} lassen sich keinem einzelnen Produkt, keiner Produktsparte oder einzelnen Kostenstelle zurechnen.
\end{frame}

% BEGIN SLOVALCO CASE 2
\begin{frame}{Fallbeispiel Aluminium: Weiterproduzieren trotz Verlust?}
\small
\setlength{\parskip}{3pt}
\textbf{Vereinfachtes Rechenbeispiel -- keine Unternehmensdaten.}

Wir vergleichen 1\,000\,t Produktion pro Periode mit Stillstand ($Q=0$).
Aluminiumpreis: 2\,500\,EUR/t; Strombedarf: 15\,MWh/t; sonstige variable Kosten: 1\,000\,EUR/t.
Umsatzerlös: 2\,500\,000\,EUR pro Periode. Fixkosten: 300\,000\,EUR pro Periode, auch bei Stillstand.
% Calculation: variable EUR/t = 1000 + 15 * electricity EUR/MWh.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabular}{@{}rrrrl@{}}
\toprule
Strompreis & Var. Kosten & DB & Gewinn & Bessere Alternative \\
(EUR/MWh) & (EUR/t) & (Tsd. EUR) & (Tsd. EUR) & im Modell \\
\midrule
60  & 1\,900 & 600  & 300  & Produzieren \\
90  & 2\,350 & 150  & $-150$ & Produzieren \\
120 & 2\,800 & $-300$ & $-600$ & Stillstand \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
DB und Gewinn gelten jeweils für 1\,000\,t. Bei Stillstand: $\Pi=-300\,000$\,EUR.

\alert{Bei 90\,EUR/MWh verringert die Produktion den Verlust: Der DB ist positiv!}

{\scriptsize Eigene Beispielrechnung; Anfahr- und Stilllegungskosten bleiben unberücksichtigt.}
\end{frame}
% END SLOVALCO CASE 2

\section{Kostenkurven und optimales Angebot}
% PPT 14
\begin{frame}{Gesamtkostenfunktion}
\centering\totaldiagram{0}

\(\text{Gesamtkosten} = \text{Fixkosten} + \text{variable Kosten}\)

\(K(Q)=K_{\mathrm{fix}}+K_{\mathrm{var}}(Q)\)
\end{frame}

% PPT 15
\begin{frame}{Variable und fixe Kosten}
\begin{itemize}
 \item \alert{Fixkosten $K_{\mathrm{fix}}$:} unabhängig von $Q$, kurzfristig auch bei Stillstand zu zahlen.
 \item \alert{Variable Kosten $K_{\mathrm{var}}(Q)$:} abhängig von $Q$; im Modell gilt $K_{\mathrm{var}}(0)=0$.
\end{itemize}
\[
\boxed{K(Q)=K_{\mathrm{fix}}+K_{\mathrm{var}}(Q)}
\]
Durch die Division durch $Q>0$ erhält man die \alert{Stückkosten}:
\[
\frac{K(Q)}{Q}=\frac{K_{\mathrm{fix}}}{Q}+\frac{K_{\mathrm{var}}(Q)}{Q}.
\]
Bei höherer Produktion verteilen sich dieselben Fixkosten auf mehr Einheiten.
\end{frame}

% PPT 16
\begin{frame}{Grenzkostenfunktion}
Die \alert{Grenzkosten} beschreiben die zusätzlichen Kosten einer weiteren Produktionseinheit:
\[K'(Q)=\frac{\mathrm dK}{\mathrm dQ}=\frac{\mathrm dK_{\mathrm{var}}}{\mathrm dQ}.\]
Die Grenzkosten hängen nur von den variablen Kosten ab. Grenzkosten werden verwendet, um die inverse Angebotsfunktion zu bilden.

\vspace{.5cm}

\centering\resizebox{!}{3.9cm}{\costdiagram{0}}
\end{frame}

% PPT 17
\begin{frame}{Produktionsschwelle}
\small
\setlength{\parskip}{2pt}
  Der \alert{Erlös} (auch Umsatz, Umsatzerlös) bezeichnet die Einnahmen von der verkauften Menge $Q$
\[
E = p \cdot Q
\]
Die \alert{Produktionsschwelle} ist der niedrigste Preis, bei dem der Erlös die variablen Kosten decken kann:
\[
p_{\mathrm{prod}}=\min_{Q>0}\frac{K_{\mathrm{var}}(Q)}{Q}.
\]
Die Produktionsschwelle befindet sich am Minimum der \alert{durchschnittlichen variablen Kosten} oder \alert{variablen Stückkosten} $\frac{K_{\mathrm{var}}(Q)}{Q}$. An der Schwelle gilt ($\Pi$ ist der Periodengewinn):

\[
E=K_{\mathrm{var}},\qquad \text{DB}=0,\qquad \Pi=-K_{\mathrm{fix}}.
\]
\begin{itemize}
 \item Unterhalb der Schwelle: Produktion einstellen.
 \item Oberhalb: Produktion kann zur Deckung der Fixkosten beitragen.
 \item Genau an der Schwelle: Produktion und Stillstand ergeben denselben Verlust, sofern keine weiteren Anfahr- oder Stilllegungskosten anfallen.
\end{itemize}
\end{frame}

% PPT 18; corrected: revenue is drawn from zero, tangent to VARIABLE costs.
\begin{frame}{Produktionsschwelle: Erlös und variable Kosten}
\centering\totaldiagram{1}

\(p_{\mathrm{prod}}Q_{\mathrm{prod}}=K_{\mathrm{var}}(Q_{\mathrm{prod}})\)
\end{frame}

% PPT 19
\begin{frame}{Produktionsschwelle am Minimum der variablen Stückkosten}
\centering\costdiagram{1}

C: Produktionsschwelle, \(p_{\mathrm{prod}}=\min_{Q>0}K_{\mathrm{var}}(Q)/Q\).
\end{frame}

% PPT 20
\begin{frame}{Produktionsschwelle: Herleitung}
Am Minimum der variablen Stückkosten gilt:
\[
0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dQ}\left(\frac{K_{\mathrm{var}}}{Q}\right)
=\frac{1}{Q}\frac{\mathrm dK_{\mathrm{var}}}{\mathrm dQ}
-\frac{K_{\mathrm{var}}}{Q^2} = \frac{1}{Q}\left(\frac{\mathrm dK_{\mathrm{var}}}{\mathrm dQ}
-\frac{K_{\mathrm{var}}}{Q} \right).
\]
An der Produktionsschwelle sind \alert{variable Stückkosten und Grenzkosten gleich}:
\[
\boxed{\frac{K_{\mathrm{var}}}{Q}=\frac{\mathrm dK_{\mathrm{var}}}{\mathrm dQ}=K'(Q)}
\]

Dabei ist $Q>0$ die produzierte und verkaufte Menge.
\end{frame}

% PPT 21
\begin{frame}{Produktionsschwelle: Grenz- und Stückkosten}
\centering\costdiagram{2}

C: \(K_{\mathrm{var}}/Q=K'(Q)=p_{\mathrm{prod}}\).
\end{frame}

% PPT 22
\begin{frame}{Gewinnschwelle}
An der \alert{Gewinnschwelle} (auch Nutzenschwelle, break-even point) deckt der Erlös genau die Gesamtkosten:
\[
E=p_{\mathrm{Gewinn}}Q=K_{\mathrm{fix}}+K_{\mathrm{var}}(Q),\qquad \Pi=0.
\]
Die Gewinnschwelle befindet sich am Minimum der \alert{Durchschnittskosten} oder \alert{Stückkosten}
\[p_{\mathrm{Gewinn}}=\min_{Q>0}\frac{K(Q)}{Q}.\]
Der Deckungsbeitrag entspricht der Höhe der Fixkosten.

\alert{Produktion fortsetzen oder nicht?}
\begin{itemize}
 \item $\text{DB}\geq K_{\mathrm{fix}}$: alle Kosten sind gedeckt.
 \item $0<\text{DB}<K_{\mathrm{fix}}$: kurzfristig weiterproduzieren; langfristig Kosten und Kapazität überprüfen.
 \item $\text{DB}<0$: Stillstand verringert den Verlust im betrachteten kurzfristigen Modell. Produktion einstellen.
\end{itemize}
\end{frame}

% PPT 23
\begin{frame}{Gewinnschwelle: Erlös und Gesamtkosten}
\centering\totaldiagram{2}

\(p_{\mathrm{Gewinn}}Q_{\mathrm{Gewinn}}=K(Q_{\mathrm{Gewinn}})\)
\end{frame}

% PPT 24
\begin{frame}{Gewinnschwelle am Minimum der gesamten Stückkosten}
\centering\costdiagram{3}

B: Gewinnschwelle.\qquad C: Produktionsschwelle.
\end{frame}

% PPT 25
\begin{frame}{Gewinnschwelle: Herleitung}
Am inneren Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten gilt:
\[
0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dQ}\left(\frac{K}{Q}\right)
=\frac{1}{Q}\frac{\mathrm dK}{\mathrm dQ}-\frac{K}{Q^2} = \frac{1}{Q}\left(\frac{\mathrm dK}{\mathrm dQ}-\frac{K}{Q}\right).
\]
Daraus folgt:
\[
\boxed{\frac{K}{Q}=\frac{\mathrm dK}{\mathrm dQ}}
\]
An der Gewinnschwelle sind \alert{durchschnittliche Gesamtkosten und Grenzkosten gleich}.
\end{frame}

% PPT 26
\begin{frame}{Gewinnschwelle und Produktionsschwelle}
\centering\costdiagram{4}

B: \(K/Q=K'(Q)\).\qquad C: \(K_{\mathrm{var}}/Q=K'(Q)\).
\end{frame}

% PPT 27
\begin{frame}{Polypol: Gewinnmaximale Angebotsstrategie}
Im Polypol ist die Firma \alert{Preisnehmerin}: $p$ ist gegeben. Als \alert{Mengenanpasserin} passt sie die Menge an, um den \alert{Periodengewinn} $\Pi(Q)$ zu maximieren:
\[
\max_{Q\geq0}\Pi(Q)=p\cdot Q-K(Q)
\]
Fürs Maximum:
\[
0=\frac{\mathrm d\Pi}{\mathrm dQ}
=\underbrace{\frac{\mathrm dp}{\mathrm dQ}}_{=0}Q+p-K'(Q)
\quad\Rightarrow\quad\boxed{p=K'(Q)}.
\]
\alert{Grenzkosten-Preis-Regel:} Am gewinnmaximierenden Punkt sind Grenzkosten und Preis gleich.
\end{frame}

% PPT 28
\begin{frame}{Angebot eines Mengenanpassers}
\centering\costdiagram{5}

A: \(p=K'(Q^*)\) auf dem steigenden Ast.
\end{frame}

% PPT 29
\begin{frame}{Umsatz, Kosten und Gewinn}
\centering\costdiagram{6}

\small A: Gewinnmaximum; B: Gewinnschwelle; C: Produktionsschwelle.

\(pQ^*=K_{\mathrm{var}}(Q^*)+K_{\mathrm{fix}}+\Pi(Q^*)\)
\end{frame}

% PPT 30
\begin{frame}{Inverse Angebotsfunktion eines Mengenanpassers}
\centering\resizebox{!}{4.3cm}{\costdiagram{7}}

\raggedright
Die inverse Angebotsfunktion folgt den steigenden Grenzkosten \alert{ab der Produktionsschwelle}.
Für $p<p_{\mathrm{prod}}$ gilt $Q^*=0$.
\end{frame}

% PPT 31
\begin{frame}{Begriffe der Kostenrechnung}
\renewcommand{\arraystretch}{1.65}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lcX@{}}
\toprule
Begriff & Formel & Bedeutung \\
\midrule
Grenzkosten & $K'(Q)$ & Kosten einer zusätzlichen Einheit \\
Durchschnittskosten & $K(Q)/Q$ & Gesamtkosten je Einheit \\
Variable Stückkosten & $K_{\mathrm{var}}(Q)/Q$ & Variable Kosten je Einheit \\
Fixe Stückkosten & $K_{\mathrm{fix}}/Q$ & Verteilte Fixkosten je Einheit \\
\bottomrule
\end{tabularx}

Bei linearen variablen Kosten $K_{\mathrm{var}}(Q)=cQ$ sind variable Stückkosten und Grenzkosten gleich: $K_{\mathrm{var}}/Q=K'(Q)=c$.
\end{frame}

% PPT 32: editable small multiples; coherent functions and derivatives.
\begin{frame}{Arten von Kostenkurven}
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,font=\scriptsize]
\foreach \t [count=\j from 0] in {$K(Q)$,$K(Q)/Q$,$K_{\mathrm{var}}(Q)/Q$,$K'(Q)$}
 \node at ({0.75+1.65*\j},0.4) {\t};
\foreach \row/\col/\expr in {
 0/0/{0.2+0.65*\x^2},0/1/{0.1/\x+0.325*\x},0/2/{0.65*\x},0/3/{1.3*\x/1.5},
 1/0/{0.2+0.65*\x},1/1/{0.1/\x+0.325},1/2/{0.65},1/3/{0.65},
 2/0/{0.2+0.65*sqrt(\x)},2/1/{0.1/\x+0.325/sqrt(\x)},2/2/{0.325/sqrt(\x)},2/3/{0.1625/sqrt(\x)},
 3/0/{0.2+1.5*\x^3-1.8*\x^2+0.95*\x},3/1/{0.1/\x+0.75*\x^2-0.9*\x+0.475},
 3/2/{1.5*\x^2-1.8*\x+0.95},3/3/{2.25*\x^2-1.8*\x+0.475}}
 {\begin{scope}[shift={({1.65*\col},{-1.25*\row})}]
  \draw[gray!40] (0,0) rectangle (1.5,-1.05);
  \begin{scope}[shift={(0.06,-1)},x=1.35cm,y=0.93cm]
   \clip (0,0) rectangle (1,1);
   \draw[costblue,thick,domain=0.08:0.98,samples=60] plot (\x,{\expr});
  \end{scope}
 \end{scope}}
\node[anchor=north west,text width=6.2cm,align=left] at (6.8,0)
 {\alert{Progressiv:} sinkende Fertigungseffizienz, etwa Überstunden, knappe Ackerflächen oder teurere Kraftwerke.};
\node[anchor=north west,text width=6.2cm,align=left] at (6.8,-1.25)
 {\alert{Linear:} konstante variable Stückkosten, etwa Material ohne Skaleneffekte.};
\node[anchor=north west,text width=6.2cm,align=left] at (6.8,-2.5)
 {\alert{Degressiv:} steigende Fertigungseffizienz durch effizientere Maschinen oder Lerneffekte.};
\node[anchor=north west,text width=6.2cm,align=left] at (6.8,-3.75)
 {\alert{Gemischt:} zunächst degressiv, dann progressiv, etwa bei einem Dieselgenerator.};
\end{tikzpicture}
\end{frame}

% PPT 33; original exercise values, also present in EE-26.
\begin{frame}{Beispiel: Aufgabe 4.2a}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
Gesamtkostenfunktion & $K(Q)=\frac13Q^3-2Q^2+5Q+15$ \\
Fixkosten & $K_{\mathrm{fix}}=15$ \\
Variable Kosten & $K_{\mathrm{var}}(Q)=\frac13Q^3-2Q^2+5Q$ \\
Grenzkosten & $K'(Q)=Q^2-4Q+5$ \\
Durchschnittskosten & $\dfrac{K(Q)}{Q}=\frac13Q^2-2Q+5+\dfrac{15}{Q}$ \\
Variable Stückkosten & $\dfrac{K_{\mathrm{var}}(Q)}{Q}=\frac13Q^2-2Q+5$ \\
\end{tabular}
\end{frame}

% PPT 34
\begin{frame}{Beispiel: Aufgabe 4.2b}
Welche Angebotsmenge maximiert den Gewinn bei einem Marktpreis von $p=10$?
\[
\begin{aligned}
10=p=K'(Q)&=Q^2-4Q+5\\
\Rightarrow\quad Q^2-4Q-5&=0\\
\Rightarrow\quad (Q-2)^2&=9\\
\Rightarrow\quad Q&=2 \pm 3.
\end{aligned}
\]
\alert{Ergebnis: $Q^*=5$.} Die Lösung $Q=-1$ ist nicht zulässig.

Hier gilt $K''(5)=6>0$. Außerdem ist $\Pi(5)=55/3>-15=\Pi(0)$.
\end{frame}

% PPT 35
\begin{frame}{Beispiel: Aufgabe 4.2d}
Unterhalb welchen Preises sollte die Produktion eingestellt werden?
\[
\frac{\mathrm d}{\mathrm dQ}\left(\frac{K_{\mathrm{var}}}{Q}\right)
=\frac{\mathrm d}{\mathrm dQ}\left(\frac13Q^2-2Q+5\right)
=\frac23Q-2=0.
\]
Damit gilt:
\[
Q_{\mathrm{prod}}=3,\qquad
\boxed{p_{\mathrm{prod}}=\frac{K_{\mathrm{var}}(3)}{3}=2}.
\]
Alternative: $K_{\mathrm{var}}/Q=K'(Q)$ lösen.

Bei $p<2$ wird nicht produziert. Bei $p=2$ sind Stillstand und Produktion von $Q=3$ gleichwertig.
\end{frame}

\section{Monopol und Wohlfahrt}
% PPT 36: full editable classification of the original matrix.
\begin{frame}{Grundlegende Marktformen}
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,font=\small]
\fill[demandblue!20] (-1.8,0) rectangle (0,4.5);
\fill[demandblue!20] (0,3.3) rectangle (10.5,4.5);
\fill[gray!20] (0,2.2) rectangle (3.5,3.3);
\fill[gray!20] (7,2.2) rectangle (10.5,3.3);
\fill[gray!20] (0,0) rectangle (3.5,1.1);
\fill[gray!20] (7,0) rectangle (10.5,1.1);
% White gutters separate the coloured header and corner cells.
\foreach \x in {0,3.5,7}\draw[white,line width=3pt] (\x,0)--(\x,4.5);
\foreach \y in {1.1,2.2,3.3}\draw[white,line width=3pt] (-1.8,\y)--(10.5,\y);
\node[font=\bfseries] at (5.25,4.8) {Anbietende};
\node[rotate=90,font=\bfseries] at (-2.2,1.65) {Nachfragende};
\node at (-.9,3.9) {Anzahl};
\foreach \x/\label in {1.75/1,5.25/wenige,8.75/viele}\node at (\x,3.9) {\label};
\foreach \y/\label in {2.75/1,1.65/wenige,.55/viele}\node at (-.9,\y) {\label};
\node[align=center] at (1.75,2.75) {bilaterales\\Monopol};
\node[align=center] at (8.75,2.75) {Nachfrage-\\monopol};
\node[align=center] at (1.75,.55) {Angebots-\\monopol};
\node[align=center] at (8.75,.55) {vollkommene\\Konkurrenz / Polypol};
\node at (5.25,1.65) {Oligopolistische Marktformen};
\end{tikzpicture}

\raggedright
\alert{Vollkommene Konkurrenz} setzt zusätzlich unter anderem homogene Güter, vollständige Information und freien Marktzutritt voraus.
\end{frame}

% PPT 37
\begin{frame}{Gewinnmaximales Angebot im Monopol}

  Im \alert{Monopol} kann der Anbieter den Preis $p(Q)$ beeinflussen,
  um seinen Gewinn zu maximieren. Der Preis ist nicht mehr extern
  gegeben.
\[
\max_{Q\geq0}\Pi(Q)=p(Q)Q-K(Q)
\]
Die Bedingung für ein Gewinnmaximum lautet ,,Grenzerlös gleich Grenzkosten'':
\[
0=\frac{d\Pi}{dQ}=\frac{d(pQ)}{dQ}-\frac{dK}{dQ} = \frac{dp}{dQ}Q+p(Q)-\frac{dK}{dQ} = p \left(1 + \frac{dp}{dQ}\frac{Q}{p} \right) - \frac{dK}{dQ}
\]
Mit der Preiselastizität der Nachfrage $\eta_{p,Q}=\frac{dQ}{dp}\frac{p}{Q}$:
\[
\boxed{K'(Q)=\frac{dK}{dQ} = p\left(1+\frac{1}{\eta_{p,Q}}\right)}.
\]
Für $\eta_{p,Q} < 0$ gilt $K'(Q) < p$. Der Preis liegt \alert{über den Grenzkosten}.
\end{frame}

% PPT 38; distinguish unit elasticity from strictly elastic demand.
\begin{frame}{Preiselastizität der Nachfrage}
\[
\eta_{p,Q}=\frac{\mathrm dQ_N}{\mathrm dp}\frac{p}{Q_N}
=\frac{\text{relative Änderung der Nachfragemenge}}{\text{relative Änderung des Preises}}.
\]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{ll}
$-1<\eta_{p,Q}\leq0$ & Unelastische Nachfrage \\
$-\infty < \eta_{p,Q}<-1$ & Elastische Nachfrage \\
\end{tabular}
\end{center}
Je größer der Betrag der Elastizität, desto stärker reagiert die Menge auf eine Preisänderung.

Die Nachfrage nach einem einzelnen Produkt ist häufig elastischer als die nach einer ganzen Produktgruppe, weil mehr Substitute verfügbar sind.
\end{frame}

% PPT 39
\begin{frame}{Spezialfall: Lineare Preis-Absatz-Funktion}
Für $a>0$, $b>0$ und $0\leq Q\leq a/b$:
\[
\begin{aligned}
p(Q)&=a-bQ &&\text{inverse Nachfrage / Preis-Absatz-Funktion},\\
E(Q) = p(Q)\cdot Q&=aQ-bQ^2 &&\text{Erlös},\\
E'(Q)&=a-2bQ &&\text{Grenzerlös}.
\end{aligned}
\]
Die Grenzerlöskurve hat denselben Achsenabschnitt $a$ wie die inverse Nachfrage, aber die \alert{doppelte negative Steigung} der Preis-Absatz-Funktion.
\[
\boxed{a-2bQ=K'(Q)}\qquad\text{am Gewinnmaximum des Monopolisten}.
\]
\end{frame}

% PPT 40
\begin{frame}{Lineare Nachfrage, Grenzerlös und Erlös}
\begin{columns}[c]
\begin{column}{0.58\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.95cm,y=0.68cm,font=\small]
\draw[->] (0,0)--(6.3,0) node[right] {$Q$};
\draw[->] (0,0)--(0,3.4) node[above] {$p,\ E'$};
\draw[costblue,very thick] (0,3)--(6,0) node[below] {$Q_S$};
\draw[TUred,thick,dashed] (0,3)--(3,0);
\draw[dotted] (3,1.5)--(3,-5);
\node[above right] at (3.6,1.2) {$p(Q)$};
\node[left,TUred] at (1.8,1.2) {$E'(Q)$};
\node[below right] at (3,0) {$Q_S/2$};
\begin{scope}[yshift=-3.5cm]
\draw[->] (0,0)--(6.3,0) node[right] {$Q$};
\draw[->] (0,0)--(0,2.8) node[above] {$E$};
\draw[costblue,very thick,domain=0:6,samples=60] plot (\x,{\x*(6-\x)/4});
\node[right] at (4.6,1.7) {$E(Q)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{column}
\begin{column}{0.37\textwidth}
\(Q_S=a/b\): Sättigungsmenge.
\begin{itemize}
 \item $Q<Q_S/2$: elastischer Bereich, $\eta_{p,Q}<-1$
 \item $Q=Q_S/2$: isoelastischer Punkt, $\eta_{p,Q}=-1$, Erlösmaximum
 \item $Q>Q_S/2$: unelastischer Bereich, $\eta_{p,Q}>-1$
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

% PPT 41
\begin{frame}{Monopolpreisbildung}
\begin{columns}[c]
\begin{column}{0.52\textwidth}
\centering\monopolydiagram{0}
\end{column}
\begin{column}{0.44\textwidth}
\alert{Monopol}
\begin{enumerate}
 \item Menge $Q_M$ aus $E'(Q_M)=K'(Q_M)$ bestimmen (G).
 \item Preis $p_M=p(Q_M)$ an der Nachfrage ablesen (B).
\end{enumerate}
\alert{Wettbewerb}

Bei A gilt $p(Q_W)=K'(Q_W)$.

\(Q_M<Q_W,\qquad p_M>p_W.\)
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

% PPT 42; distinguish producer surplus from profit (fixed costs).
\begin{frame}{Konsumentenrente und Produzentenrente}
\begin{itemize}
 \item \alert{Konsumentenrente:} Zahlungsbereitschaft der Käufer*innen abzüglich ihrer tatsächlichen Ausgaben. Im Diagramm: Fläche unter der Nachfrage und über dem Marktpreis.
 \item \alert{Produzentenrente:} Erlös abzüglich der variablen Kosten (d.h. Deckungsbeitrag). Im Diagramm: Fläche über den Grenzkosten und unter dem Marktpreis bis zur verkauften Menge.
\end{itemize}
\[
\text{Produzentenrente}=pQ-K_{\mathrm{var}}(Q),\qquad
\Pi=\text{Produzentenrente}-K_{\mathrm{fix}}.
\]
Günstiger produzierende Anbieter erzielen einen höheren Überschuss. Dieser muss zunächst ihre Fixkosten decken, bevor ein Gewinn verbleibt.
\end{frame}

% PPT 43
\begin{frame}{Polypol gegenüber Monopol}
\begin{columns}[c]
\begin{column}{0.49\textwidth}
\centering\alert{Angebotspolypol}

\resizebox{!}{4.2cm}{\monopolydiagram{1}}
\end{column}
\begin{column}{0.49\textwidth}
\centering\alert{Angebotsmonopol}

\resizebox{!}{4.2cm}{\monopolydiagram{2}}
\end{column}
\end{columns}
\small Gelb: Konsumentenrente. Grün: Produzentenrente. Rot: Wohlfahrtsverlust.

Das Monopol erhöht seine Produzentenrente durch eine geringere Menge und einen höheren Preis. Die gesamte Wohlfahrt sinkt.
\end{frame}

% PPT 44
\begin{frame}{Polypol gegenüber Monopol: Spezialfall linearer Kosten}

  Wir nehmen an, dass alle Anbietenden lineare Kostenfunktionen $K_i(Q_i) = c\cdot Q_i$ haben. Die inverse Nachfrage lautet $p(Q)=a-bQ$, mit $a > c \geq 0, b>0$. Wie bilden sich die Preise im Polypol und Monopol?

  \vspace{.1cm}
\begin{columns}[c]
\begin{column}{0.49\textwidth}
\centering\alert{Angebotspolypol}

\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.46cm,font=\small]
\fill[yellow!45] (0,6)--(4.5,1.5)--(0,1.5)--cycle;
\draw[->] (0,0)--(6.4,0) node[right] {$Q$};
\draw[->] (0,0)--(0,6.6) node[above] {$p$};
\draw[costblue,thick] (0,6) node[left] {$a$}--(6,0);
\draw[TUred,thick] (0,1.5) node[left] {$c$}--(6,1.5);
\draw[dotted] (4.5,1.5)--(4.5,0) node[below] {$Q_W$};
\end{tikzpicture}
\[p_W=c,\qquad Q_W=\frac{a-c}{b}.\]
\end{column}
\begin{column}{0.49\textwidth}
\centering\alert{Angebotsmonopol}

\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.46cm,font=\small]
\fill[yellow!45] (0,6)--(2.25,3.75)--(0,3.75)--cycle;
\fill[costgreen!30] (0,1.5) rectangle (2.25,3.75);
\draw[->] (0,0)--(6.4,0) node[right] {$Q$};
\draw[->] (0,0)--(0,6.6) node[above] {$p$};
\draw[costblue,thick] (0,6) node[left] {$a$}--(6,0);
\draw[costblue,dashed] (0,6)--(3,0);
\draw[TUred,thick] (0,1.5) node[left] {$c$}--(6,1.5);
\draw[dotted] (0,3.75) node[left] {$p_M$}--(2.25,3.75)--(2.25,0) node[below] {$Q_M$};
\end{tikzpicture}
\[p_M=\frac{a+c}{2},\qquad Q_M=\frac{a-c}{2b}.\]
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Cournot-Oligopol}
% PPT 45
\begin{frame}{Cournot-Oligopol und Cournot-Duopol}

  \alert{Cournotsches Oligopolmodell:} Verhalten zweier oder mehrerer Konkurrenten auf
einem unvollkommenen Markt, auf dem die Angebotsmenge
die „strategische Variable“ ist. Jede Firma maximiert ihren Gewinn bei gegebenen Mengen der anderen Firmen.

Annahmen:
\begin{itemize}
 \item Feste Anzahl von Anbietenden; im Duopol genau zwei
 \item Homogenes Gut und vollständige Information über das Modell
 \item Gleichzeitige Mengenentscheidungen
 \item Keine Kooperation oder Absprache zwischen den Firmen
 \item Jede Firma berücksichtigt ihren Einfluss auf den Marktpreis
\end{itemize}
Im Modell lassen sich Monopol und Polypol als Grenzfälle vergleichen.
\end{frame}

% PPT 46
\begin{frame}{Duopol: Kosten, Nachfrage und Gewinn}
Zwei identische Firmen produzieren die Mengen $Q_1$ und $Q_2$ mit linearen Kostenfunktionen:
\[
K_1(Q_1)=cQ_1,\qquad K_2(Q_2)=cQ_2.
\]
Die inverse Nachfrage hängt von der \alert{Gesamtmenge} ab:
\[
p(Q_1+Q_2)=a-b(Q_1+Q_2),\qquad a>c,\quad b>0.
\]
Die Gewinne sind:
\[
\begin{aligned}
\Pi_1(Q_1,Q_2)&=p(Q_1 + Q_2) \cdot Q_1-K_1(Q_1),\\
\Pi_2(Q_1,Q_2)&=p(Q_1 + Q_2) \cdot Q_2-K_2(Q_2).
\end{aligned}
\]
\end{frame}

% PPT 47
\begin{frame}{Duopol: Herleitung des Gleichgewichts}
Jede Firma hält bei ihrer Optimierung die Menge der anderen Firma konstant:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial\Pi_1}{\partial Q_1}&=a-c-2bQ_1-bQ_2=0,\\
\frac{\partial\Pi_2}{\partial Q_2}&=a-c-bQ_1-2bQ_2=0.
\end{aligned}
\]
Subtraktion der Gleichungen liefert $Q_1=Q_2$. Einsetzen ergibt:
\[
\boxed{Q_1^*=Q_2^*=\frac{a-c}{3b}},\qquad
\boxed{p^*=\frac{a+2c}{3}}.
\]
Die Gesamtmenge beträgt $Q^*=Q_1^* + Q_2^* = 2(a-c)/(3b)$. Wegen $\partial^2\Pi_i/\partial Q_i^2=-2b<0$ maximiert jede Firma ihren Gewinn.
\end{frame}

% PPT 48; separate individual and aggregate output to avoid the source's ambiguity.
\begin{frame}{Vergleich: Monopol, Duopol, Oligopol, Polypol}
Für identische Firmen mit $K_i(Q_i)=cQ_i$ und $p(Q)=a-bQ$ kann man mit dem Cournotschen Ansatz zwischen Monopol und Polypol interpolieren:

\vspace{.2cm}

\centering
\small
\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
\begin{tabular}{lrrrr}
\toprule
\textbf{Marktform} & \textbf{Firmen} & \textbf{Preis} & \textbf{Menge je Firma} & \textbf{Gesamtmenge} \\
\midrule
\alert{Monopol} & $1$ & $\dfrac{a+c}{2}$ & $\dfrac{a-c}{2b}$ & $\dfrac{a-c}{2b}$ \\
\alert{Duopol} & $2$ & $\dfrac{a+2c}{3}$ & $\dfrac{a-c}{3b}$ & $\dfrac{2(a-c)}{3b}$ \\
\alert{Oligopol} & $N$ & $\dfrac{a+Nc}{N+1}$ & $\dfrac{a-c}{b(N+1)}$ & $\dfrac{N(a-c)}{b(N+1)}$ \\
\alert{Polypol} & $N\to\infty$ & $c$ & $\to0$ & $\dfrac{a-c}{b}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}

\vspace{.2cm}

\raggedright
\normalsize Mit mehr Firmen sinkt der Preis in Richtung der Grenzkosten; die Gesamtmenge steigt.
\end{frame}

\end{document}